第6题: 和平方与平方和的差
Problem 6: Sum Square Difference
题目
和平方与平方和的差
前10个自然数的平方和为
$$ 1^2+2^2+\dots+10^2=385 $$
前10个自然数的和平方为
$$ (1+2+\dots+10)^2=55^2=3025 $$
因此前十个自然数的和平方与平方和的差为 $3025-385=2640$。
求前100个自然数的和平方与平方和的差的差。
Sum Square Difference
The sum of the squares of the first ten natural numbers is,
$$ 1^2+2^2+\dots+10^2=385 $$
The square of the sum of the first ten natural numbers is,
$$ (1+2+\dots+10)^2=55^2=3025 $$
Hence the difference between the sum of the squares of the first ten natural numbers and the square of the sum is $3025-385=2640$.
Find the difference between the sum of the squares of the first one hundred natural numbers and the square of the sum.
解题方法
弱智版
直接循环暴力求解。不赘述。
公式法
平方和公式为：
$$ \sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$
和平方的计算为：
$$ (\sum_{i=1}^{n}i)^2=[\frac{n(n+1)}{2}]^2 $$
则二者的差为
$$ \begin{aligned} (\sum_{i=1}^{n}i)^2-\sum_{i=1}^{n}i^2&=[\frac{n(n+1)}{2}]^2-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\ &=n(n+1)[\frac{3n(n+1)-2(2n+1)}{12}] \\ &=\frac{n(n+1)(n-1)(3n+2)}{12} \end{aligned} $$
参考代码
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